Алгебраические уравнения > Линейные системы

Системы линейных уравнений

Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида 
a_i1 x₁+a_i2 x₂+...+a_iNx_N=b_i.                 (1)
В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде:
Ax=b,                                                (2)
где A - матрица коэффициентов СЛАУ размерности N², x - вектор неизвестных, b - вектор правых частей уравнений.

К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики. Несколько таких примеров приведено в разделе о решении краевых задач для ОДУ или дифференциальных уравнений в частных производных.

СЛАУ имеет единственное решение, если матрица A является невырожденной, или по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю. С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ не представляет трудностей, если матрица A не очень велика. С большой матрицей проблем также не возникнет, если она не очень плохо обусловлена. В этом случае наиболее популярным способом решения является алгоритм исключения Гаусса. Для плохо обусловленных систем разработаны специальные методы, например, регуляризации.