Алгебраические уравнения > Линейные системы > Алгоритм Гаусса

Алгоритм исключения Гаусса

Алгоритм последовательных исключений Гаусса основан на преобразовании матрицы A линейной системы Ax=b к треугольному виду (т.е. к форме, когда все элементы ниже главной диагонали матрицы являются нулевыми). Точнее, СЛАУ Ax=b заменяется эквивалентной системой с другой матрицей A* и другим вектором правых частей b*, но имеющей то же решение, что и исходная система.

Алгоритм состоит в следующем:

1. Проводится прямой ход исключения неизвестных путем подстановки одних уравнений в другие. Используются следующие формулы:
a_ij = - a_ij / a_jj
a_ik = a_ik + a_ija_ik
b_j = b_j + a_ijb_j
j = 1,2, ... N-1     i=j+1,  j+2, ... N   k=j+1,  j+2, ... j+N  

2. При помощи обратного хода определяются все неизвестные х. Для этого х_N сразу определяется из последнего уравнения, в которое не входят другие х (матрица системы теперь является трехдиагональной). Затем х_N  подставляется в предыдущее  уравнение, из которого сразу определяется х_N-1 и т.д.