Обратные задачи >
Регуляризация > Пример
Пример регуляризации
На предыдущей странице были
приведены основные идеи метода регуляризации
Тихонова для решения обратных
задач. Покажем на конкретном примере задачи
геофизической томографии, как решаются при
помощи регуляризации линейные обратные
задачи. Наиболее типичная постановка
задачи томографии состоит в том, чтобы по набору измерений каждого
из имеющихся приёмников в каждый момент времени измерений восстановить в узлах сетки, которой покрывается
объект, поле пространственных переменных (которыми
может быть, к примеру, температура в
атмосфере или океане, скорость ветра и т.п.) . Для окончательной формулировки вычислительной задачи необходимо записать
систему линейных уравнений в дискретном виде.
Как показано выше, концепция применительно к
рассматриваемой линейной задаче
томографии, сводится к ее замене на систему линейных алгебраических уравнений,
зависящей от параметра регуляризации
a:
(*) .
Проиллюстрируем сказанное конкретным вычислительным примером. Зададим некоторую
двумерную модель пространственного поля (например,
скорости ветра в атмосфере или электронной
концентрации в ионосфере), которое образована наложением на регулярный высотный профиль неоднородности, расположенной в центре (рис.1), и промоделируем процесс доплеровских измерений,
который соответствует схеме
дистанционного зондирования атмосферы с
передатчиком на борту перемещающегося ИСЗ
и приемниками на поверхности Земли.
Высота ИСЗ в компьютерном эксперименте составляла 900 км, два приёмника располагались в точках с координатами 0 км и 500 км по поверхности Земли в плоскости пролёта ИСЗ. Дискретизация интегральных уравнений проводилась
методом кусочно-планарной аппроксимации на сетке 21х21 узел. Такая крупная (по сравнению с реальными задачами томографии
атмосферы) сетка была взята нами для того, чтобы проверить выдвигаемую методику с помощью точного метода решения
системы линейных уравнений (*), не прибегая к приближённым итерационным алгоритмам. Поскольку число арифметических операций, требующихся компьютеру для завершения точного метода, порядка
(M)
6 , то для расчёта на сетке 100х100 узлов необходимо время в 15,000 раз большее. В скобках заметим, что на выполнение программы решения системы
(*) методом Гаусса с выбором главного элемента
занимает на Pentium-200 время порядка минуты, поэтому на практике следует, конечно, использовать итерационные методы. Эффективным может оказаться, например, метод сопряжённых градиентов, поскольку в его рамках можно организовать эффективный спуск по параметру
регуляризации.
Задав реалистичный высотный профиль N
0(z), проиллюстрируем предложенный подход, рассчитав точное решение регуляризованной задачи. Для того, чтобы определить оптимальный параметр регуляризации, проведём серию расчётов с различными
, контролируя невязку. На рис.2 изображена зависимость нормы невязки
решения регуляризованной задачи от параметра регуляризации. На том же рисунке изображена суммарная ошибка (т.е. норма отклонения решения от модельного распределения).
Для реконструкции можно использовать значение a, соответствующее глобальному минимуму зависимости
e(a) (рис.3), либо применить т.н. принцип невязки, который требует выбора
a, с которым невязка приблизительно равна сумме погрешностей измерений (т.е. заданий правой части) и аппроксимации (результат реконструкции изображён на рис.4). Из сравнения четырёх полей видно, что наилучшее совпадение с моделью демонстрирует последний рисунок.