Псевдорешение

Рассмотрим  линейную обратную задачу, которая может быть записана в виде (чаще всего, плохо обусловленной) системы линейных уравнений:
(1)
с неизвестным вектором N, подлежащим определению (по повторяющимся индексам здесь и далее мы предполагаем суммирование), известной матрицей А и известным вектором правых частей уравнений f, которые выражают физическую постановку задачи. В частности, задача томографии состоит в численном решении системы большого числа интегральных уравнений, дискретизация который приводит к  системе линейных уравнений с матрицей А и правыми частями f, выражающими результаты измерений.

Система (1) может быть переопределённой, т.е. количество уравнений может превышать (часто в несколько десятков раз) число неизвестных. Поэтому искомый вектор можно интерпретировать только как "псевдорешение" или "обобщённое решение" системы (1), т.е. вектор из пространства R^M, минимизирующий функционал невязки
. (2)
Здесь двойными вертикальными четами обозначена норма вектора невязки системы (1), которую, как видно из равенства (2) мы взяли евклидовой. Заметим, что формально решение (в смысле псевдорешения) системы (1) можно записать в виде

где символом  A^- обозначена матрица, псевдообратная к матрице А.
Для решения системы (1), ввиду большой размерности задачи, используются, в основном, приближённые итерационные методы. Одним из наиболее часто применяемых алгоритмов являются итерационные алгоритмы семейства ART, которые своим развитием обязаны технологии интерпретации изображений. В частности, в атмосферной томографии широко применяется алгоритм ART3. Поскольку матрица А является плохо обусловленной, то точное решение (1) оказывается крайне неустойчивым и, как правило, весьма далёким от реального поля неизвестных параметров. 

Как известно, задачу поиска обобщённого решения исходной вещественной системы (1) можно свести к задаче поиска классического решения следующей системы линейных уравнений:
. (3)
Символ "Т" обозначает операцию транспонирования. 

 

Однако задача (3), так же, как и (1), остаётся некорректной вследствие плохой обусловленности их матриц. Плохая обусловленность системы означает, что погрешности коэффициентов её матрицы (имеющие место ввиду ошибок аппроксимации) и погрешности правых частей (шум измерений) сильно искажают решение. Поскольку задача неустойчива, то (точное) решение задачи с неточно заданными матрицей и правой частью может не иметь ничего общего с искомым вектором N.

 

Поэтому численные методы решения систем плохо обусловленных уравнений (в частности, поиска псевдорешения) отличаются от классических алгоритмов (например, Гаусса), которыми принято решать "хорошие" системы. Наиболее частый подход к  решению некорректных задач заключается в их регуляризации, приводящей к вычислительной  задаче на минимизации функционала Тихонова (см. ниже).