Некорректные обратные задачи

Обратная задача для математической модели
AN= f, 
(оператор А и вектор правых частей f известны) состоит в отыскании неизвестного вектора сигнала N по измерениям прибора f. 

При решении обратных задач важное значение играет их устойчивость. Задача устойчива, если малым флуктуациям правых частей f соответствуют малые флуктуации решения N. Иными словами, устойчивость состоит в требовании, чтобы решения близких задач AN= f и  AN= f+df мало отличались друг от друга. Если задача изначально является неустойчивой, то решать ее нет никакого смысла, поскольку погрешности алгоритмов, накапливающиеся в ходе решения численными методами, неизбежно приведут к тому, что будет найдено неверное решение.

Как правило, обратные задачи характеризуются наличием шумов, что может быть символически отражено равенством:
f=AN+s
(мы предполагаем, таким образом, теперь, что шум s входит в схему измерений линейно, а оператор А , возможно нелинейный, описывает физическую модель измерений). В реальных задачах экспериментальной физики шум может быть довольно существенным.

Наличие шума коренным образом меняет идеологию решения обратных задач. Если сама задача (описываемая оператором А) является устойчивой, то существование шума может эту устойчивость нарушать. Попросту говоря, различные (даже очень сильно отличающиеся) сигналы N₁ и N₂ могут, будучи искажены шумом, приводить к очень похожим измерениям f₁ ~ f₂. Поэтому встает вопрос, можно ли извлечь из измерений полезную информацию о сигнале, если наличие шума делает задачу неустойчивой? Такие задачи называются задачами, поставленными некорретно (некорректными задачами). Для их решения развиты специальные методы, основанные на привлечение дополнительной априорной информации о решении f, которые будут рассмотрены выше.

Следует заметить, что класс некорректных задач шире класса обратных (см. диаграмму). Классический пример обратного уравнения теплопроводности - уравнения в частных производных - можно отыскать в литературе.